Pertidaksamaan Logaritma

Pertidaksamaan juga bisa dioperasikan pada logaritma. Pada petidaksamaan logaritma, berlaku beberapa teorema yaitu:

Untuk a > 1

  • Jika ^a\log f(x) < ^a \log g(x), maka 0 < f(x) < g(x)
  • Jika ^a\log f(x) > ^a\log g(x), maka f(x) > ;g(x) > 0

Untuk 0 < a < 1

  • Jika ^a\log f(x) < ^a\log g(x), maka f(x) > g(x) > 0
  • Jika ^a\log f(x) > ^a\log g(x), maka 0 < f(x) < g(x)

Sebagai contoh, menentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan:
^2\log(2x + 1) < ^2\log 3
Berubah bentuk menjadi:
2x + 1
2x < 2
x < 1
Dari pertidaksamaan tersebut diketahui bahwa a = 2, berarti a > 1. Berlaku syarat: Jika ^a\log f(x) < ^a\log g(x), maka 0 < f(x) < g(x). Sehingga:
0 < (2x+1) < 3
-1 < (2x) < 2
-\frac{1}{2} < x < 1
Garis bilangannya adalah:
contoh soal persamaan dan pertidaksamaan logaritma
Sama halnya dengan persamaan logaritma, pertidaksamaan logaritma sering kali dilakukan permisalan y = ^a \log x. Permisalan ini untuk menyederhanakan dan mempermudah penyelesaiaan pertidaksamaan. Sebagai contoh penyelesaian dari:
(2 \log x-1)(\frac{1}{^x\log 10}) > 1
Diubah menjadi:

(2 \log x - 1)(\log x) > 1

2 \log^2 x - \log x - 1 > 0

Dimisalkan y = log x, maka pertidaksamaan menjadi:

2y^2 - y - 1 > 0
(2y + 1)(y - 1)
Akar-akarnya adalah :
y_1 = -\frac{1}{2} dan y_2 = 1
Maka nilai x adalah:
y_1 = -\frac{1}{2}\overset{maka}{\rightarrow}-\frac{1}{2} = \log x
x_1 = 10^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}
y_2 = 1\overset{maka}{\rightarrow}1 = \log x
x_2 = 10
Berlaku syarat x > 0, dan x ≠ 1, maka garis bilangannya adalah:
pertidaksamaan logaritma
Penyelesaiannya adalah:
0 < x < \frac{1}{\sqrt{10}} atau x > 10

Pertidaksamaan Harga Mutlak Logaritma

Operasi logaritma bisa dilakukan dalam sebuah harga mutlak. Penyelesaiannya mengikuti sifat-sifat harga mutlak dan logaritma. Harga mutlak tersebut memiliki sifat-sifat:

  • Jika \mid x \mid < a dengan a > 0, maka -a < x < a
  • Jika \mid x \mid > a dengan a > 0, maka x < -a atau x > a

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma dalam harga mutlak ini dapat dikerjakan seperti contoh:
\mid ^3\log (x+1)\mid < 2
Berdasarkan sifat \bar x \bar < a, maka:
-2 < ^3\log(x+1) < 2
^3\log(\frac{1}{9}) < ^3\log(x+1) < ^3\log(x+1) < ^3\log 9
\frac{1}{9} < x + 1 < 9

-\frac{8}{9} < x < 8

Contoh Soal (UMPTN ’96):
Penyelesaian pertidaksamaan 2\log(x+1) \le \log(x+4) + \log 4 adalah
Pembahasan 3:
2\log(x+1) \le \log(x+4) + \log 4
\log(x+1)^2 \le\log 4(x+4)
(x+1)^2 \le 4(x+4)
x^2 + 2x + 1 \le 4x + 16
x^2 - 2x - 15 \le 0
(x - 5)(x + 3) \le 0
Akar-akarnya adalah x_1 = 5 dan x_2 = -3. Sehingga intervalnya:
-3 \le x \le 5
Namun ada syarat yaitu:
(x + 1)^2 > 0
x < -1 atau x < -1
Garis bilangannya adalah:
pembahasan pertidaksamaan
Maka penyelesaiannya adalah:

-1 < x \le 5

Dicopy dari StudioBelajar.com

About Ahmad Alimin

Guru Matematika dan Tim IT di SMA Negeri 1 Lamongan
This entry was posted in KELAS X MIPA, Logaritma. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s