Konsep dan Operasi Vektor

Pengertian Besaran Vektor
Dalam Matematika dan fisika dikenal dua besaran, yaitu besaran vektor dan besaran skalar. Besaran skalar adalah besaran yang memiliki besar (magnitude) saja, misalnya waktu, suhu, panjang, luas, volume, massa dan sebagainya.
Sedangkan, Besaran Vektor adalah besaran yang memiliki besar (magnitude) dan arah (direction), misalnya kecepatan, percepatan, gaya, momentum, momen, impuls, medan magnetik dan sebagainya.

Vektor adalah suatu ruas garis berarah yang memiliki besaran (panjang, nilai) dan arah tertentu,
jika vektor berawal dari titik A dan berakhir di titik B bisa ditulis dengan sebuah huruf kecil yang diatasnya ada tanda garis/panah seperti contoh \vec{u} atau \bar{u}
atau juga \vec{AB} dapat dinyatakan dalam grafis berikut.

\vec{u}=\vec{AB}

( dibaca vektor AB mewakili vektor \vec{u}, sedangkan \vec{AB} adalah vektor yang pangkalnya A dan ujungnya B)

1. Kesamaan dua Vektor

Dua buah vektor disebut sama jika dan hanya jika panjang dan arah vektor sama


\vec{a}=\vec{b}
vektor a dan vektor b sama, artinya panjangnya sama dan arahnya sama.


vektor a dan vektor c tidak sama, walaupun panjangnya sama tetapi arahnya berbeda, dalam hal ini
\vec{a}=-\vec{c}

2. Perkalian Skalar dengan Vektor

Bila k adalah sebuah skalar maka perkalian dengan vektor a dinyatakan dengan kasebuah vektor yang searah dengan a dan panjangnya k kali panjang a
Kupas Tuntas Matematika Vektor SMA Kelas X Peminatan
Sifat-sifat Perkalian skalar dengan vektor

a. Sifat Asosiatif         : (kI)\vec{a}= k(I\vec{a})
b. Sifat Distributif      : k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}

3. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Penjumlahan Vektor
Penjumlahan dua vektor dapat dilakukan dengan
menggunakan metode segitiga, metode jajarangenjang, metode poligon dan metode penguraian vektor.

Contoh:
diberikan vektor \vec{a} dan \vec{b} berikut:

\vec{a}+\vec{b} dapat ditentukan dengan cara berikut:
Metode segitiga

Metode jajaranginjang

Metode poligon

Metode poligon dapat digunakan untuk menjumlahkan dua buah vektor atau lebih, metode ini merupakan pengembangan dari metode segitiga. Misalnya terdapat tiga buah vektor, yaitu A , B, dan C, maka cara menjumlahkan dengan metode poligon dapat dilakukan dengan beberapa langkah, seperti berikut ini:

  1. Vektor pertama, yaitu vektor  A digambar terlebih dahulu sesuai besar dan arahnya.
  2. Vektor kedua, yaitu vektor B digambar dengan pangkalnya berimpit dengan vektor A.
  3. Vektor ketiga, yaitu vektor C juga digambar dengan pangkalnya berimpit dengan vektor B.
  4. Resultannya dapat dicari dengan menghubungkan pangkal vektor pertama dengan ujung vektor terakhir.

Untuk lebih jelasnya silakan lihat gambar berikut ini!

Diketahui vektor \vec{A}, \vec{B}, \vec{C}

Penjumlahan vektor \vec{A}+\vec{B}+\vec{C} dapat ditentukan sebagai berikut


Pengurangan Vektor

Pengurangan vektor sama dengan penjumlahan vektor dengan salah satu vektor negatif dari vektor semula.
untuk memudahkan dalam operasi geometri, bentuknya sebagai berikut :
(perhatikan arah anak panahnya)

Contoh:
\vec{C}=\vec{A}-\vec{B}

\vec{C}=\vec{B}-\vec{A}

Sifat-sifat penjumlahan dua vektor:

a. Komutatif                         : \vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}
b. Asosiatif                           : \vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}
c. Invers                               : \vec{a}+(\vec{-a})=0
d. Identitas Perkalian         : I\vec{a}=\vec{a}
e. Identitas Penjumlahan   : \vec{a}+0=\vec{a}

 

4. Vektor Posisi
Vektor posisi dari titik A terhadap pusat O ditulis \vec{OA} atau \vec{a}. gambar berikut menunjukan posisi dari titik AB, dan terhadap pusat O, ditulis \vec{OA}, \vec{OB}, dan \vec{OC}.

Vektor \vec{OA}, \vec{OB}, dan \vec{OC} disebut Vektor Posisi dari titik AB, dan C yang biasa ditulis \vec{a}, \vec{b} dan \vec{c}

Perhatikan ΔABOΔABO berikut,

Terlihat bahwa:
\vec{AB}= \vec{AO}+\vec{OB}
\vec{AB}= -\vec{OA}+\vec{OB}
\vec{AB}= \vec{OB}-\vec{OA}
\vec{AB}=\vec{b}- \vec{a}

5. Teorema titik tengah

Perhatikan gambar berikut:

Jika titik A dan B mempunyai vektor posisi \vec{a} dan \vec{b} terhadap O. maka vektor posisi dari M yang merupakan titik tengah dari titik A dan B, ditulisvektor posisi \vec{m} yaitu:

\vec{AB}=\vec{b}- \vec{a}
\vec{AM}= \vec{MB}, berarti
\vec{AM}= \frac{1}{2}\vec{AB}
\vec{AM}= \frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a})
pandang
\vec{OM}=\vec{OA}+\vec{AM}
\vec{OM}=\vec{a}+\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})
\therefore \vec{m}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})

About Ahmad Alimin

Guru Matematika dan Tim IT di SMA Negeri 1 Lamongan
This entry was posted in KELAS X MIPA, Vektor. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s