Pertidaksamaan Eksponen

Dalam bentuk pertidaksamaan, sifat-sifat pertidaksamaan eksponen dapat diketahui sebagai berikut:

Untuk a>1a>1

  • Jika a^{f(x)}>a^{g(x)}, maka f(x)>g(x)

Contoh:

2^{3x}>2^6

Maka:

3x > 6

  • Jika a^{f(x)}<a^{g(x)}, maka f(x)<g(x)

Contoh:

2^{3x}<2^6

Maka:

 3x<6

  • Jika a^{f(x)}\ge a^{g(x)}, maka f(x) \ge g(x)

Contoh:

2^3 \ge 2^6

Maka:

3x \ge 6

  • Jika a^{f(x)}\le a^{g(x)}, maka f(x)\le g(x)

Contoh:

2^{3x} \le 2^6

Maka:

3x \le 6

Untuk 0<a<10<a<1

Jika a^{f(x)} > a^{g(x)}, maka f(x)<g(x)

Contoh:

\frac{1}{2}^{3x} > \frac{1}{2}^6

Maka:

3x < 6

  • Jika a^{f(x)} < a^{g(x)}, maka f(x) > g(x)

Contoh:

\frac{1}{2}^{3x} < \frac{1}{2}^6

Maka:

3x > 6

  • Jika a^{f(x)} \ge a^{g(x)}, maka f(x)\le g(x)

Contoh:

\frac{1}{2}^{3x} \ge \frac{1}{2}^{6}

Maka:

3x\le 6

  • Jika a^{f(x)} \le a^{g(x)}, maka f(x) \ge g(x)

Contoh:

\frac{1}{2}^{3x} \le \frac{1}{2}^6

Maka:

3x \ge 6

Contoh Soal Persamaan Eksponen, Pertidaksamaan Eksponen, dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Akar-akar persamaan 5^{2x+3} - 6(5^{x+1}) + 1 = 0 adalah x_1 dan x_2.

Jika x_1 < x_2, maka tentukan nilai 2x_1 + x_2 (UN 2008)

Pembahasan

5^{2x+3} - 6(5^{x+1}) + 1 = 0

5^{2(x+1)+1} - 6(5^{x+1}) + 1 = 0

5((5^{x+1})^2) - 6(5^{x+1}) + 1 = 0

Misalkan 5^{x+1} = y, maka

5(y2)6(y)+1=05(y2)−6(y)+1=0

y_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

y_{1,2} = \frac{-(-6)\pm \sqrt{(-6)^2 - 4(5)(1)}}{2(5)}

y_{1,2} = \frac{6 \pm 4}{10}

sehingga y_1 = \frac{1}{5} dan y2 = 1.

Disubstitusi dalam 5^{x+1} = y menjadi

5^{x+1} = \frac{1}{5} = 5^{-1}

x+1 = -1 \longrightarrow x_1 = -2

5^{x+1} = 1 = 5^0

x+1 = 0 \longrightarrow x_2 = -1

Sehingga,

2x_1 + x_2 = 2 (-2)+(-1) = -5

Contoh Soal 2

Jika x>0 dan x\ne 1 memenuhi \frac{x}{\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x}}} = x^p, serta p bilangan rasional, maka p adalah

(SPMB 2002)

Pembahasan

Dilakukan penyederhanaan di dalam akar:

\frac{x}{\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x}}} = \frac{x}{\sqrt[3]{x(x)^{\frac{1}{3}}}} = x^p

= \frac{x}{\sqrt[3]{(x)^{1+\frac{1}{3}}}} = \frac{x}{\sqrt[3]{(x)^{\frac{4}{3}}}}

Akar dirubah menjadi pangkat:

= \frac{x}{((x)^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{3}}} = \frac{x}{((x)^{\frac{4}{9}})}

Bentuk pecahan disederhanakan menjadi:

x(x)^{-\frac{4}{9}} = x^p

(x)^{1-\frac{4}{9}} = x^p

Maka

p = 1- \frac{4}{9} = \frac{5}{9}

Contoh Soal 3

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan eksponen 3^{-x^2+3x} \le 1 adalah:

Pembahasan

3^{-x^2 + 3x} \le 1

3^{-x^2 + 3x} \le 3^0

Sehingga,

-x^2 + 3x \le 0

x(-x + 3) \le 0

Diperoleh,

x_1 = 0 dan x_2 = 3

Untuk mendapat penyelesaiannya, ambil sembarang nilai x diantara rentang 0<x<3kemudian disubstitusikan kedalam bentuk -x^2 + 3x \le 0. Misal ambil x = 1.

-(1)^2 + 3(1) \le 0

- 1 + 3 \le 0

2 \le 0 (tidak sesuai)

Karena tidak sesuai, maka area penyelesaian ada di luar rentang 0<x<3, sehingga didapat penyelesaiannya adalah

x\le 0 dan x\le 3

dicopy dari: https://www.studiobelajar.com/persamaan-pertidaksamaan-eksponen/

About Ahmad Alimin

Guru Matematika dan Tim IT di SMA Negeri 1 Lamongan
This entry was posted in Eksponen, KELAS X MIPA. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s