Persamaan Trigonometri

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang mengandung perbandingan antara sudut trigonometri dalam bentuk x. Penyelesaian persamaan ini dengan cara mencari seluruh nilai sudut-sudut x, sehingga persamaan tersebut bernilai benar untuk daerah asal tertentu.

Penyelesaian persamaan trigonometri dalam bentuk derajat yang berada pada rentang 0^{\circ} sampai dengan 360^{\circ} atau dalam bentuk radian yang berada pada rentang 0 sampai dengan 2π.

Rumus untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sebagai berikut:

1. Sinus

Jika 

\sin px = \sin a

 dengan p dan a dalah konstanta, maka

  • Dalam bentuk derajat:
x_1 = \frac{a}{p} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{p}
x_2 = \frac{(180^{\circ} - a)}{p} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{p}

Sebagai contoh:

\sin 3x^{\circ} = 0, 0^{\circ}\le x \le 360^{\circ}

Maka:

\sin 3x^{\circ} = \sin 180^{\circ}
x_1 = \frac{180}{3} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{3} = 60 + (k \times 120), k \epsilon B
x_2 = \frac{(180^{\circ} - a)}{p} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{p} = \frac{(180^{\circ} - 180)}{3} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{3} = k \times 120, k \epsilon B
x_2 k \times 120, k \epsilon B

Menentukan himpunan penyelesaian umumnya yaitu:

60 + (k \times 120) \cup (k \times 120), k \epsilon B

k = 0 \rightarrow x_1 = 60 atau x_2 = 0

k = 1 \rightarrow x_1 = 180 atau \rightarrow x_2 = 120

k = 2 \rightarrow x_1 = 300 atau \rightarrow x_2 = 240

k = 3 \rightarrow x_2 = 360

Jadi, himpunan penyelesaian umumnya adalah:

(0, 60, 120, 180, 240, 300, 360)

  • Dalam bentuk radian:
x_1 = \frac{a}{p} + \frac{k(2\pi)}{p}
x_2 = \frac{(\pi - a)}{p} + \frac{k(2\pi)}{p}

Sebagai contoh:

\sin 3x = 0

Maka:

\sin 3x = \sin \pi
x_1 = \frac{\pi}{3} + k \times \frac{2\pi}{3}, k \epsilon B
x_2 = \frac{(\pi - \pi)}{3} + k \times \frac{2\pi}{3} = k \times \frac{2\pi}{3},k \epsilon B

Menentukan himpunan penyelesaian umumnya yaitu:

\frac{\pi}{3} + k \times \frac{2\pi}{3}\cup k\times \frac{2\pi}{3}, k \epsilon B

k = 0 \rightarrow x_1 = \frac{\pi}{3} atau x_2x_2 = 0

k = 1 \rightarrow x_1 = \frac{\pi}{3}+ \frac{2\pi}{3} = \pi atau x_2 = \frac{2\pi}{3}

k = 2 \rightarrow x_1 = \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} atau x_2 = \frac{ \pi}{3}

k = 3 \rightarrow x_2 = 2\pi

jadi, himpunan penyelesaian umumnya adalah:

(0,\frac{\pi}{3}, \pi , \frac{4\pi}{3} , \frac{5\pi}{3} , 2\pi)

2. Cosinus

Jika \cos px = \cos a dengan p dan α adalah konstanta, maka:

  • Dalam bentuk derajat:
x = \pm \frac{a}{p} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{p}

Sebagai contoh:

2 cos(2x - 60^{\circ}) - \sqrt{3} = 0, 0^{\circ} \le x \le 360^{\circ}

Maka:

2 cos(2x - 60^{\circ}) - \sqrt{3} = 0
\cos(2x - 60^{\circ}) = \frac{1}{2} \sqrt{3}
\cos(2x - 60^{\circ}) = \cos 30^{\circ}

Sehingga:

2x - 60^{\circ} \pm 30^{\circ} + k \times 360^{\circ}
2x = 60^{\circ} \pm 30^{\circ} + k \times 360^{\circ}

Diperoleh:

x_1 = 45^{\circ} + k \times 180^{\circ}, k \epsilon B
x_2 = 15^{\circ} + k \times 180^{\circ}, k \epsilon B

Menentukan himpunan penyelesaian umumnya yaitu:

45^{\circ} + k \times 180^{\circ}\cup 15^{\circ} + k \times 180^{\circ}, k \epsilon B

k = 0 \rightarrow x_1 = 45^{\circ}atau x_2 = 15^{\circ}

k = 1 \rightarrow x_1 = 45^{\circ} + 180^{\circ} = 180^{\circ} = 225^{\circ} atau x_2 = 15^{\circ} + 180^{\circ} = 115^{\circ}

Jadi, himpunan penyelesaian umumnya adalah:

(156{\circ}, 45^{\circ}, 115^{\circ}, 225^{\circ})
  • Dalam bentuk radian:
x = \pm \frac{a}{p} + \frac{k \cdot (2\pi)}{p}

Sebagai contoh:

2 \cos(2x - \frac{\pi}{3}) - \sqrt{3} = 0,0 \le x \le 2\pi

Maka:

2\cos(2x - \frac{\pi}{3}) - \sqrt{3} = 0
\cos (2x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\sqrt{3}
\cos (2x - \frac{\pi}{3} - \cos\frac{\pi}{6})

Sehingga:

2x - \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{6} + k \times 2\pi
2x = \frac{\pi}{3} \pm \frac{\pi}{6} + k \times 2\pi

Diperoleh:

x_1 = \frac{\pi}{4} + k \times \pi ,k \epsilon B
x_1 = \frac{\pi}{12} + k \times \pi ,k \epsilon B

Menentukan himpunan penyelesaian umumnya yaitu:

\frac{\pi}{4} + k \times \pi \cup \frac{\pi}{12} + k \times \pi , k \epsilon B

k = 0 \rightarrow x_1 = \frac{\pi}{4} atau x_2=x_2 = \frac{\pi}{4}

k = 1 \rightarrow x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5}{4}\pi ataux_2 = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13}{12}\pi

jadi, himpunan penyelesaian umumnya adalah:

(\frac{\pi}{12} , \frac{\pi}{4} ,\frac{13\pi}{12} ,\frac{5\pi}{4})

3. Tangen

Jika⁡ \tan px = \tan a dengan p dan a adalah konstanta, maka

  • Dalam bentuk derajat:
x = \frac{a}{p} + \frac{k \cdot 180^{\circ}}{p}

Sebagai contoh:

\tan(x - 45^{\circ}) = \cot 90^{\circ}, 0^{\circ} \le x \le 360^{\circ}

Maka:

\tan (x - 45^{\circ}) = \frac{1}{3}\sqrt{3}
\tan (x - 45^{\circ} = \tan 30^{\circ})

Sehingga:

x - 45^{\circ} = 30^{\circ} + k \times 180^{\circ}
x = 45^{\circ} + 30^{\circ} + k \times 180^{\circ}
x = 75^{\circ} + k \times 180^{\circ}

Menentukan himpunan penyelesaian umumnya yaitu:

x = 75^{\circ} + k \times 180^{\circ} , k \epsilon B
k = 0 \rightarrow x = 75^{\circ}
k = 1 \rightarrow x = 75^{\circ} + 180^{\circ} = 225^{\circ}

Jadi, himpunan penyelesaian umumnya adalah:

(75^{\circ}, 225^{circ})
  • Dalam bentuk radian:
x = \frac{a}{p} + \frac{k \cdot (\pi)}{p}

Sebagai contoh:

\tan (x - \frac{\pi}{4}) = \cot\frac{\pi}{2}, 0 \le x \le 2\pi

Maka:

\tan (x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{3}\sqrt{3}
\tan (x - \frac{\pi}{4}) = \tan\frac{\pi}{6}

Sehingga:

x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + k \times \pi
x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + k \times \pi
x = \frac{5\pi}{12} + k \times \pi

Menentukan himpunan penyelesaian umumnya yaitu:

x = \frac{5\pi}{12} + k\pi , k \epsilon B
k = 0 \rightarrow x = \frac{5\pi}{12}
k = 1 \rightarrow x = \frac{5\pi}{12} + \pi = \frac{17\pi}{12}

Jadi, himpunan penyelesaian umumnya adalah:

(\frac{5\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}

Penyelesaian Persamaan Trigonometri

Persamaan trigonometri dapat memuat jumlah atau selisih dari sinus atau kosinus. Untuk penyelesaiaannya dapat diubah menjadi bentuk persamaan yang memuat perkalian sinus atau kosinus. Begitu juga jika dihadapkan dengan kasus sebaliknya.

Persamaan trigonometri untuk beberapa kasus dapat dirubah menjadi persamaan kuadrat yang memuat sinus, kosinus, atau tangen. Penyelesaiannya didapat dengan metode faktorisasi.

Ada persamaan trigonometri dalam bentuk a \cos x + b \sin x = c yang dapat diselesaikan dengan cara berikut:

a \cos x + b \sin x = c (kedua ruas dibagi a)

\cos x + \frac{b}{a} \sin x = \frac{c}{a}

Misalkan \tan a = \frac{b}{a}, maka:

\cos x + \tan a \sin x = \frac{c}{a} (kedua ruas dikali \cos a)

\cos(x - a) = \cos a(\frac{c}{a})

Karena \tan a = \frac{b}{a}, maka

\cos (a) = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}

Sehingga,

\cos(x - a) = (\frac{c}{a})(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}) = \frac{c}{\sqrt{a^2+ b^2}}

Contoh Soal Persamaan Trigonometri dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:

\sin 3x = \cos 2x ; 0^{\circ} \le x \le 360^{\circ}

Pembahasaan:

\sin 3x = \cos 2x
\sin 3x = sin(90^{\circ} - 2x)

Sehingga,

3x = (90^{\circ} - 2x) + (k \cdot 360^{\circ})

5x = 90^{\circ} + (k \cdot 360^{\circ}) (kedua ruas dibagi 5)

 x_1 = 18^{\circ} + (k \cdot 72^{\circ})

Atau,

3x = (180 - (90^{\circ} - 2x)) + (k \cdot 360^{\circ})
3x = (90^{\circ} + 2x) + (k \cdot 360^{\circ})
x_2 = 90^{\circ} + (k \cdot 360^{\circ})

Himpunannya,

k = 0 \rightarrow x = 18^{\circ} atau x = 90^{\circ}

k = 1 \rightarrow x = 90^{\circ}
K = 2 \rightarrow x = 162^{\circ}
k = 3 \rightarrow x = 234^{\circ}

Himpunan penyelesaiannya adalah (18^{\circ}, 90^{\circ}, 162^{\circ}, 234^{\circ})

Contoh Soal 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:

\sin (x+ \frac{\pi}{4})\cos x = \frac{1}{4}\sqrt{2}; 0 \le x \le 2\pi

Pembahasan

\sin (x+\frac{\pi}{4})

Dibuat kedalam bentuk

2 \sin a \cos \beta = \sin (a+\beta) + \sin (a-\beta)

Dengan

(2)sin(x+\frac{\pi}{4}) \cos x = (2)(\frac{1}{4}\sqrt{2}) = \frac{1}{2}\sqrt{2}

Menjadikan

\sin((x+\frac{\pi}{4}) + x) + \sin ((x + \frac{\pi}{4}) - x) = \frac{1}{2} \sqrt{2}
\sin (2x + \frac{\pi}{4}) + \sin (\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}\sqrt{2}
\sin (2x + \frac{\pi}{4}) + (\frac{1}{2}\sqrt{2})
\sin (2x + \frac{\pi}{4}) = 0
\sin (2x + \frac{\pi}{4}) = \sin 0

Sehingga

(2x + \frac{\pi}{4}) = 0 + k \cdot (2\pi)
2x = -\frac{\pi}{4} + k \cdot (2\pi)
x_1 = -\frac{\pi}{8} + k \cdot (\pi)

atau

(2x + \frac{\pi}{4}) = (\pi - 0) + k \cdot (2\pi)
2x = (\pi - \frac{\pi}{4}) + k \cdot (2\pi)
x_2 = (\frac{3\pi}{8}) + k \cdot (\pi)

Himpunannya,

k = 0 \rightarrow x_2 = \frac{3\pi}{8}
k = 1\rightarrow x_1 = \frac{7\pi}{8}
\rightarrow x_2 = \frac{11\pi}{8}
k = 2 \rightarrow x_1 = \frac{15\pi}{8}

Himpunan penyelesaiannya adalah:

(\frac{3\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}, \frac{11\pi}{8}, \frac{15\pi}{8})

Contoh Soal 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri:

\cos 4x + 2\cos^2 2x + 14\sin 2x - 9 = 0; 0 \le x \le 2\pi

Pembahasan:

\cos 4x + 2\cos^2 2x + 14\sin 2x - 9 = 0;
(1 -2\sin^2 2x) + 2(1 - \sin^2 2x) + 14\sin 2x - 9 = 0
4\sin^2 2x - 14\sin 2x + 6 = 0
2\sin ^2 - 7\sin 2x + 3 = 0
(2\sin 2x - 1)(\sin 2x - 3) = 0

Didapat,

Akar 1:

2\sin 2x - 1 = 0

\sin 2x = \frac{1}{2} (bisa)

Akar 2:

\sin 2x - 3 = 0

\sin 2x = 3 (tidak bisa)

Sehingga,

\sin 2x = \frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6})
2x = \frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi
x_1 = \frac{\pi}{12}+ k \cdot \pi

Atau,

2x = (\pi - \frac{\pi}{6}) + k \cdot 2\pi
x_2 = \frac{5\pi}{12}+k \cdot \pi

Himpunannya,

k = 0 \rightarrow x_1 = \frac{\pi}{12}
\rightarrow = \frac{5\pi}{12}
k = 1 \rightarrow x_1 = \frac{13\pi}{12}
\rightarrow x_2 = \frac{17\pi}{12}

Himpunan penyelesaiannya adalah:

(\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12},\frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12})

Di Copy dari StudioBelajar.com

Posted in KELAS XI MIPA, Trigonometri | Leave a comment

Perbandingan Vektor

(1) Tinjauan Geometris Perbandingan vektor

Dalam operasi aljabar vektor kita tidak mengenal pembagian dua vektor. Dalam hal ini kita hanya menentukan perbandingan panjang dua vektor, atau perbandingan ruas garis.
Secara geometris terdapat tiga aturan perbandingan ruas garis, yaitu:
Catatan : Bentuk (a) dapat dinyatakan dalam kalimat : “P membagi AB di dalam dengan perbandingan m : n
Bentuk (b) dan (c) dapat dinyatakan dalam kalimat : “P membagi AB di luar dengan perbandingan m : nUntuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :
 
 
01. Diketahui sebuah ruas garis AB dengan panjang 9 cm. Jika AP : PB = 2 : 1, gambarlah letak titik P
Jawab:
 
 
02. Diketahui sebuah ruas garis AB dengan panjang 4 cm. Jika AP : PB = –2 : 1, gambarlah letak titik P
Jawab:
 
 
03. Diketahui sebuah ruas garis AB dengan panjang 4 cm. Jika P membagi AB di luar dengan perbandingan panjang 2 : 3, maka gambarkanlah letak titik P
Jawab:

 

(2) Tinjauan Analitis Perbandingan Vektor

Vektor posisi adalah vektor yang posisi titik awalnya di titik O(0,0) dan titik ujungnya di A (a1, a2, a3) dan dilambangkan dengan satu huruf kecil, sehingga

\left.\begin{matrix} O(0, 0, 0)\\A(a_1, a_2, a_3) \end{matrix}\right\}\vec{OA}=\vec{a}=a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k}=\begin{bmatrix} a_1\\a_2 \\a_3 \end{bmatrix}

Sebagai contoh diketahui A(2, -3, 4) maka vektor posisi a adala \vec{a}=2\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}=\begin{bmatrix} 2\\-3 \\4 \end{bmatrix}

Jika OA + AB = OB
Sebagai contoh jika diketahui A(2, -1, 6) dan B(-3, 2, 4) maka:

Menurut rumus perbandingan ruas garis pada segitiga berikut diperoleh:
 
 

\bar{AP}:\bar{PB}=m:n
n\bar{AP}=m\bar{PB}
n(\bar{p}-\bar{a})=m(\bar{b}-\bar{p})
n\bar{p}-n\bar{a}=m\bar{b}-m\bar{p}
n\bar{p}+m\bar{p}=m\bar{b}-n\bar{a}
(n+m)\bar{p}=n\bar{a}+m\bar{b}
\bar{p}=\frac{n\bar{a}+m\bar{b}}{m+n}

04. Misalkan P, Q dan R adalah tiga titik yang segaris dan berlaku PR : RQ = –2 : 5 maka nyatakanlah vektor r dalam p dan q
Jawab:
PR:RQ=-2:5
\bar{p}=\frac{5\bar{p}+(-2)\bar{q}}{5+(-2)}
\bar{p}=\frac{5\bar{p}-2\bar{q}}{5-2}
\bar{p}=\frac{5\bar{p}-2\bar{q}}{3}
\bar{p}=\frac{1}{3}(5\bar{p}-2\bar{q})

05. Jika titik A, B dan P kolinier dengan perbandingan AP : PB = –4 : 3 maka nyatakanlah vektor a dalam p dan b
Jawab:

Posted in KELAS X MIPA, Uncategorized, Vektor | Leave a comment

Konsep dan Operasi Vektor

Pengertian Besaran Vektor
Dalam Matematika dan fisika dikenal dua besaran, yaitu besaran vektor dan besaran skalar. Besaran skalar adalah besaran yang memiliki besar (magnitude) saja, misalnya waktu, suhu, panjang, luas, volume, massa dan sebagainya.
Sedangkan, Besaran Vektor adalah besaran yang memiliki besar (magnitude) dan arah (direction), misalnya kecepatan, percepatan, gaya, momentum, momen, impuls, medan magnetik dan sebagainya.

Vektor adalah suatu ruas garis berarah yang memiliki besaran (panjang, nilai) dan arah tertentu,
jika vektor berawal dari titik A dan berakhir di titik B bisa ditulis dengan sebuah huruf kecil yang diatasnya ada tanda garis/panah seperti contoh \vec{u} atau \bar{u}
atau juga \vec{AB} dapat dinyatakan dalam grafis berikut.

\vec{u}=\vec{AB}

( dibaca vektor AB mewakili vektor \vec{u}, sedangkan \vec{AB} adalah vektor yang pangkalnya A dan ujungnya B)

1. Kesamaan dua Vektor

Dua buah vektor disebut sama jika dan hanya jika panjang dan arah vektor sama


\vec{a}=\vec{b}
vektor a dan vektor b sama, artinya panjangnya sama dan arahnya sama.


vektor a dan vektor c tidak sama, walaupun panjangnya sama tetapi arahnya berbeda, dalam hal ini
\vec{a}=-\vec{c}

2. Perkalian Skalar dengan Vektor

Bila k adalah sebuah skalar maka perkalian dengan vektor a dinyatakan dengan kasebuah vektor yang searah dengan a dan panjangnya k kali panjang a
Kupas Tuntas Matematika Vektor SMA Kelas X Peminatan
Sifat-sifat Perkalian skalar dengan vektor

a. Sifat Asosiatif         : (kI)\vec{a}= k(I\vec{a})
b. Sifat Distributif      : k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}

3. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Penjumlahan Vektor
Penjumlahan dua vektor dapat dilakukan dengan
menggunakan metode segitiga, metode jajarangenjang, metode poligon dan metode penguraian vektor.

Contoh:
diberikan vektor \vec{a} dan \vec{b} berikut:

\vec{a}+\vec{b} dapat ditentukan dengan cara berikut:
Metode segitiga

Metode jajaranginjang

Metode poligon

Metode poligon dapat digunakan untuk menjumlahkan dua buah vektor atau lebih, metode ini merupakan pengembangan dari metode segitiga. Misalnya terdapat tiga buah vektor, yaitu A , B, dan C, maka cara menjumlahkan dengan metode poligon dapat dilakukan dengan beberapa langkah, seperti berikut ini:

  1. Vektor pertama, yaitu vektor  A digambar terlebih dahulu sesuai besar dan arahnya.
  2. Vektor kedua, yaitu vektor B digambar dengan pangkalnya berimpit dengan vektor A.
  3. Vektor ketiga, yaitu vektor C juga digambar dengan pangkalnya berimpit dengan vektor B.
  4. Resultannya dapat dicari dengan menghubungkan pangkal vektor pertama dengan ujung vektor terakhir.

Untuk lebih jelasnya silakan lihat gambar berikut ini!

Diketahui vektor \vec{A}, \vec{B}, \vec{C}

Penjumlahan vektor \vec{A}+\vec{B}+\vec{C} dapat ditentukan sebagai berikut


Pengurangan Vektor

Pengurangan vektor sama dengan penjumlahan vektor dengan salah satu vektor negatif dari vektor semula.
untuk memudahkan dalam operasi geometri, bentuknya sebagai berikut :
(perhatikan arah anak panahnya)

Contoh:
\vec{C}=\vec{A}-\vec{B}

\vec{C}=\vec{B}-\vec{A}

Sifat-sifat penjumlahan dua vektor:

a. Komutatif                         : \vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}
b. Asosiatif                           : \vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}
c. Invers                               : \vec{a}+(\vec{-a})=0
d. Identitas Perkalian         : I\vec{a}=\vec{a}
e. Identitas Penjumlahan   : \vec{a}+0=\vec{a}

 

4. Vektor Posisi
Vektor posisi dari titik A terhadap pusat O ditulis \vec{OA} atau \vec{a}. gambar berikut menunjukan posisi dari titik AB, dan terhadap pusat O, ditulis \vec{OA}, \vec{OB}, dan \vec{OC}.

Vektor \vec{OA}, \vec{OB}, dan \vec{OC} disebut Vektor Posisi dari titik AB, dan C yang biasa ditulis \vec{a}, \vec{b} dan \vec{c}

Perhatikan ΔABOΔABO berikut,

Terlihat bahwa:
\vec{AB}= \vec{AO}+\vec{OB}
\vec{AB}= -\vec{OA}+\vec{OB}
\vec{AB}= \vec{OB}-\vec{OA}
\vec{AB}=\vec{b}- \vec{a}

5. Teorema titik tengah

Perhatikan gambar berikut:

Jika titik A dan B mempunyai vektor posisi \vec{a} dan \vec{b} terhadap O. maka vektor posisi dari M yang merupakan titik tengah dari titik A dan B, ditulisvektor posisi \vec{m} yaitu:

\vec{AB}=\vec{b}- \vec{a}
\vec{AM}= \vec{MB}, berarti
\vec{AM}= \frac{1}{2}\vec{AB}
\vec{AM}= \frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a})
pandang
\vec{OM}=\vec{OA}+\vec{AM}
\vec{OM}=\vec{a}+\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})
\therefore \vec{m}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})

Posted in KELAS X MIPA, Vektor | Leave a comment

Pertidaksamaan Logaritma

Pertidaksamaan juga bisa dioperasikan pada logaritma. Pada petidaksamaan logaritma, berlaku beberapa teorema yaitu:

Untuk a > 1

  • Jika ^a\log f(x) < ^a \log g(x), maka 0 < f(x) < g(x)
  • Jika ^a\log f(x) > ^a\log g(x), maka f(x) > ;g(x) > 0

Untuk 0 < a < 1

  • Jika ^a\log f(x) < ^a\log g(x), maka f(x) > g(x) > 0
  • Jika ^a\log f(x) > ^a\log g(x), maka 0 < f(x) < g(x)

Sebagai contoh, menentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan:
^2\log(2x + 1) < ^2\log 3
Berubah bentuk menjadi:
2x + 1
2x < 2
x < 1
Dari pertidaksamaan tersebut diketahui bahwa a = 2, berarti a > 1. Berlaku syarat: Jika ^a\log f(x) < ^a\log g(x), maka 0 < f(x) < g(x). Sehingga:
0 < (2x+1) < 3
-1 < (2x) < 2
-\frac{1}{2} < x < 1
Garis bilangannya adalah:
contoh soal persamaan dan pertidaksamaan logaritma
Sama halnya dengan persamaan logaritma, pertidaksamaan logaritma sering kali dilakukan permisalan y = ^a \log x. Permisalan ini untuk menyederhanakan dan mempermudah penyelesaiaan pertidaksamaan. Sebagai contoh penyelesaian dari:
(2 \log x-1)(\frac{1}{^x\log 10}) > 1
Diubah menjadi:

(2 \log x - 1)(\log x) > 1

2 \log^2 x - \log x - 1 > 0

Dimisalkan y = log x, maka pertidaksamaan menjadi:

2y^2 - y - 1 > 0
(2y + 1)(y - 1)
Akar-akarnya adalah :
y_1 = -\frac{1}{2} dan y_2 = 1
Maka nilai x adalah:
y_1 = -\frac{1}{2}\overset{maka}{\rightarrow}-\frac{1}{2} = \log x
x_1 = 10^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}
y_2 = 1\overset{maka}{\rightarrow}1 = \log x
x_2 = 10
Berlaku syarat x > 0, dan x ≠ 1, maka garis bilangannya adalah:
pertidaksamaan logaritma
Penyelesaiannya adalah:
0 < x < \frac{1}{\sqrt{10}} atau x > 10

Pertidaksamaan Harga Mutlak Logaritma

Operasi logaritma bisa dilakukan dalam sebuah harga mutlak. Penyelesaiannya mengikuti sifat-sifat harga mutlak dan logaritma. Harga mutlak tersebut memiliki sifat-sifat:

  • Jika \mid x \mid < a dengan a > 0, maka -a < x < a
  • Jika \mid x \mid > a dengan a > 0, maka x < -a atau x > a

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma dalam harga mutlak ini dapat dikerjakan seperti contoh:
\mid ^3\log (x+1)\mid < 2
Berdasarkan sifat \bar x \bar < a, maka:
-2 < ^3\log(x+1) < 2
^3\log(\frac{1}{9}) < ^3\log(x+1) < ^3\log(x+1) < ^3\log 9
\frac{1}{9} < x + 1 < 9

-\frac{8}{9} < x < 8

Contoh Soal (UMPTN ’96):
Penyelesaian pertidaksamaan 2\log(x+1) \le \log(x+4) + \log 4 adalah
Pembahasan 3:
2\log(x+1) \le \log(x+4) + \log 4
\log(x+1)^2 \le\log 4(x+4)
(x+1)^2 \le 4(x+4)
x^2 + 2x + 1 \le 4x + 16
x^2 - 2x - 15 \le 0
(x - 5)(x + 3) \le 0
Akar-akarnya adalah x_1 = 5 dan x_2 = -3. Sehingga intervalnya:
-3 \le x \le 5
Namun ada syarat yaitu:
(x + 1)^2 > 0
x < -1 atau x < -1
Garis bilangannya adalah:
pembahasan pertidaksamaan
Maka penyelesaiannya adalah:

-1 < x \le 5

Dicopy dari StudioBelajar.com

Posted in KELAS X MIPA, Logaritma | Leave a comment

Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma didefinisikan sebagai berikut :

Persamaan logaritma yaitu suatu persamaan yang peubahnya merupakan numerus atau bilangan pokok logaritma

 

Beberapa macam bentuk persamaan logaritma
1. Bentuk: alog f(x) = alog p
Himpunan penyelesaiannya adalah :
jila alog f(x) = alog p → f(x) = p dengan syarat f(x) > 0

Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut :

  1. ^3log(3x-2)(x+2)=4
  2. log (x−1) + log (x−2) = log 6
  3. ^{(3x+2)}log 8=^5log2

Jawab : ….

2. Bentuk: alog f(x) = blog f(x)

Himpunan penyelesaiannya adalah :
jila alog alog f(x) = blog f(x)   f(x)=1

Contoh 2:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut :

  1. 2log(24−3x) = 3log(24−3x)
  2. 7log(x2+5x−22) = 5log(x2+5x−22)
  3. 5log(5x+51x−5) = 3log(5x+51x−5)

Jawab : ….

 

 

3. Bentuk: alog f(x) = alog g(x)

Himpunan penyelesaiannya adalah :
jila alog f(x) = alog g(x)  ⇒  f(x) = g(x)

Contoh 3:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut :

  1. 5log (x−3) = 5log (x+1) − 2log2
  2. log (2x2+3) = 1 + log (x+1)
  3. log {log 7 + log (x-3)} = log log (2x+1)

Jawab : ….

Contoh 4:
Tentukan penyelesaian dari ^2\log(2x - 3) - ^4\log(x - ^3/_2) = 1 (UMPTN ’92)
Pembahasan 1:
^2\log(2x - 3) - ^4\log(x - ^3/_2) = 1
^2\log(2x - 3) - \frac{1}{2}(^2\log(\frac{2x-3}{2})) = 1
^2\log(2x - 3) - (\frac{1}{2}^2\log(2x - 3)) - (-\frac{1}{2}^2\log 2) = ^2\log 2
\frac{1}{2}^2\log(2x - 3) = \frac{1}{2}^2\log 2
^2\log (2x - 3) = ^2 \log 2
2x - 3 = 2
x = 2,5

Contoh 5:
Tentukan nilai x dari persamaan  \log(\frac{3x+1}{100}) = ^{3x+1}\log 1000 (UMPTN ’93)
Pembahasan 2:
\log(\frac{3x+1}{100}) =^{3x+1}\log 1000
\log(3x+1) - \log(100) = \frac{1}{^{1000}\log(3x+1)}
\log(3x+1) - \log(10)^2 = \frac{1}{^{10^3}\log(3x+1)}
\log(3x + 1) - 2 = \frac{1}{\frac{1}{3}\log(3x+1)}
\log(3x+1) - 2 = \frac{3}{\log(3x+1)}
Misalkan y = \log(3x+1), maka persamaannya:
y - 2 = \frac{3}{y}
y^2 - 2y = 3
y^2 - 2y - 3 = 0
(y - 3)(y + 1) = 0
Akarnya adalah y_1 = 3,namun y_2 = -1 tidak bisa jadi penyelesaian karena bernilai negatif.
Sehingga:
Jika y_1 = 3 \overset{maka}{\rightarrow}3 = \log(3x+1)
\log(1000) = \log(3x+1)
1000 = 3x+1

x = \frac{999}{3} = 333

Posted in KELAS X MIPA, Logaritma | Leave a comment

Penerapan Fungsi Logaritma

Konsep dan fungsi logaritma sangat bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari. Dalam ilmu kimia, logaritma digunakan untuk menentukan kadar keasaman suatu larutan. Dalam ilmu fisika logaritma digunakan untuk menentukan taraf intensitas suatu bunyi. Logaritma juga digunakan untuk menentukan besarnya skala Richter yang biasa digunakan dalam satuan skala besarnya kegempaan. Fungsi logaritma juga bisa digunakan dalam ilmu perbankkan, yaitu untuk menghitung besarnya bunga majemuk. Penghitungan bunga majemuk termasuk
fungsi pertumbuhan (monoton naik). Pada unit 1 telah dibahas tentang fungsi eksponen yang disajikan dalam subtema angsuran pinjaman, nah sekarang bagaimana caranya jika kita ingin mengetahui kapan angsuran pinjaman kita selesai, berapa suku bunga yang diberikan bank, dan butuh berapa periode
kita mengangsur pinjamanan? Untuk dapat menjawab itu semua, perhatikan baik-baik uraian materi berikut.
Apa sih bunga majemuk itu?
Kalian tentu sudah mengerti bahwa jika seseorang menyimpan uang di bank dalam periode tertentu pasti akan mendapat bunga, dan jika bunga tersebut tidak diambil, maka bunga tersebut bersama-sama dengan modal awal akan menjadi modal baru yang akan berbunga lagi pada periode berikutnya. Bunga yang diperoleh akan lebih besar dari bunga periode sebelumnya. Nah, proses bunga berbunga ini disebut bunga majemuk.
Sebagai contoh, Beril meminjam uang di bank untuk modal usaha sebesar Rp 50.000.000,00 dengan bunga majemuk 2% dengan lama pinjaman 4 tahun. Beril mendapatkan tabel rincian pinjamannya yang harus dibayarkan di akhir tahun keempat sebagai berikut :
Dari tabel tersebut, terlihat bahwa bunga terus bertambah setiap tahunnya/periodenya, yang diperoleh dari mengalikan suku bunga ( i ) dengan besarnya modal pada periode sebelumnya. Perhitungannya sebagai berikut :
Modal sebelumnya             = Rp 50.000.000,00
Bunga tahun/periode I     = 3% × Rp 50.000.000,00 = Rp 1.000.000,00
Modal periode I                    = Rp 50.000.000,00 + Rp 1.000.000,00
                                                 = Rp 51.000.000,00
Bunga tahun/periode II    = 3% × Rp 51.000.000,00 = Rp 1.020.000,00
Modal periode II                   = Rp 51.000.000,00 + Rp 1.020.000,00
                                                 = Rp 52.020.000,00
Begitu seterusnya.
Selain menghitung secara manual seperti di atas, menghitung besarnya bunga majemuk dapat dilakukan dengan fungsi eksponen, yang sudah kita bahas di unit 1. Selain dengan hitungan manual seperti uraian diatas, atau dengan fungsi eksponen, suku Bunga bank juga dapat dihitung dengan menggunakan logaritma. Kita dapat menggunakan logaritma untuk menentukan waktu yang diperlukan untuk menaikkan tabungan awal menjadi suatu jumlah tertentu.
Dalam bunga majemuk dengan tabungan awal M pada bunga i per tahun, maka jumlah tabunan setelah waktu penyimpanan t tahun (Mt) dapat dirumuskan sebagai berikut :
Mt = M0 (1 + i)t Bunga majemuk dihitung t tahun
Mt = M0 (1 + i) Bunga sederhana (untuk satu tahun)
Contoh Soal:
Bu Sinta memiliki tabungan di suatu bank sejumlah Rp 5.000.000,00 dengan bunga majemuk 5% per tahun. Tentukan waktu yang diperlukan agar tabungan Bu Sinta menjadi dua kali lipat.
Jawab:
Diketahui :
Mo = Rp 5.000.000,00
i = 5% = 0,05
n = 2
Mt = 10.000.000
Ditanya :
Lama menabung = t = ….
Dijawab :
Digunakan rumus Mt = M0 (1 + i)t
Sifat logaritma yang digunakan log an = n × log a
10.000.000 = 5.000.000 (1 + 0,05)t
10.000.000 = 5.000.000 (1,05)t
(1,05)t = [tex]\frac{10.000.000}{5.000.000}[/tex] = 2 (gunakan sifat logaritma)
log (1,05)t = log 2
t × log (1,05) = log 2
t = [tex]\frac{log2}{log 1.05}[/tex] (Gunakan kalkulator atau tabel logaritma)
t = 14,04
Jadi, tabungan Bu Sinta akan menjadi dua kali lipat setelah 14,04 tahun.
Posted in KELAS X MIPA, Logaritma | Leave a comment

Fungsi Logaritma

1. Pengertian Fungsi Logaritma 

Sebagaimana halnya pada pengertian logaritma di atas, fungsi logaritma merupakan fungsi invers (balikan) dari fungsi eksponen. Pengertian fungsi logaritma adalah :
Fungsi logaritma adalah fungsi yang memetakan x bilangan real dengan aturan f(x)=^{a}\textrm{log{ x}}. Aturan fungsi ini juga dapat dituliskan f: x \rightarrow ^{a}\textrm{log{ x}}, dengan a> 0, a\neq 1  dan x> 0

Keterangan:
a) Domain fungsi f adalah D_f={x|x>0,x\in R}
b) a adalah bilangan pokok (basis) dimana a>0, a\neq 1
c) Range fungsi f adalah R_f={y|- \infty <y< \infty,y\in R}

2. Grafik Fungsi Logaritma 

Cara membuat grafik fungsi logaritma f(x)=^{a}\textrm{log x} adalah :
Membuat tabel hubungan antara x denga y=f(x)=^{a}\textrm{log x}
Menggambar titik-titik yang diperoleh pada langkah 1) dan kemudian menghubungkannya dengan kurva mulus.
Maka akan diperoleh grafik yang dimaksud.

Catatan:
Sebagaimana fungsi eksponen, fungsi logaritma f(x)=^{a}\textrm{log x} dengan a > 1 merupakan fungsi monoton naik.
Grafik fungsi logaritma dibedakan menjadi dua yaitu :

a) Grafik fungsi logaritma dengan basis lebih besar dari pada Satu 
Untuk lebih memahaminya, lengkapilah titik-titik berikut.
Gambarlah grafik fungsi logaritma f(x)=^{3}\textrm{log x}.
Untuk mempermudah membuat grafik, dibuat tabel pasangan koordinat berikut:

Gambarlah pasangan koordinat titik (x,y) yang telah diperoleh itu dalam bidang kartesius
yang tersedia di bawah ini. Hubungkan titik-titik itu dengan sebuah kurva mulus sehingga kalian peroleh grafi k fungsi f(x)=^{3}\textrm{log x}.
Apakah gambar yang kalian peroleh seperti pada gambar grafi k berikut?

Dari gambar tersebut dapat diketahui bahwa, jika nila x makin besar maka nilai y juga makin besar. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut :
Jika x_1 < x_2 maka ^alogx_1< ^alogx_2 , untuk a>0
Dengan demikian merupakan fungsi monoton naik untuk a > 0.b) Grafik fungsi logaritma dengan basis antara nol dan satu
Sama dengan langkah mengambar grafik di atas, kita akan menggambarkan grafik fungsi f(x)=^{\frac{1}{3}}\textrm{log x}
Membuat tabel pasangan koordinat titik-titik.

Menggambar pasangan koordinat titik (xy) yang telah diperoleh dalam bidang kartesius.
Menghubungkan titik-titik tersebut dengan sebuah kurva mulus sehingga diperoleh grafi k fungsi f(x)=^{\frac{1}{3}}\textrm{log x}.
Apakah grafik yang kalian peroleh seperti ini?
Dari grafi k fungsi tersebut dapat disimpulkan bahwa jika nilai x semakin besar, maka f(x)=^{\frac{1}{3}}\textrm{log x} semakin kecil. Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut :
Jika x_1 < x_2 maka ^alogx_1> ^alogx_2 , untuk 0<a<1
Berdasarkan pertidaksamaan itu, dapat dikatakan bahwa grafik fungsi logaritma f(x)=^{a}\textrm{log x}, dengan 0<a<1 merupakan grafik fungsi monoton turun.

 

3. Sifat-sifat Fungsi Logaritma f(x) = alog x, dengan a≠1
Setelah kalian mempelajari tentang grafik fungsi logaritma, diketahui sifat-sifat fungsi logaritma sebagai berikut :

a. Selalu memotong sumbu X di titik (1,0)
b. Merupakan fungsi kontinu
c. Tidak pernah memotong sumbu Y sehingga dikatakan sumbu Y sebagai asimtot tegak
d. f merupakan fungsi naik jika a > 1 , dan merupakan fungsi turun jika 0<a<1

Posted in KELAS X MIPA, Logaritma | Leave a comment

Konsep Logaritma

Pengertian Logaritma

Logaritma adalah kebalikan dari suatu perpangkatan. Jika sebuah perpangkatan ac = b, maka dapat dinyatakan dalam logaritma sebagai:

alog b = c

dengan syarat a > 0 dan a \ne 1

Pada penulisan logaritma alog b = c, a disebut bilangan pokok dan b disebut bilangan numerus atau bilangan yang dicari nilai logaritmanya (b > 0) dan c merupakan hasil logaritma. Jika nilai a sama dengan 10, biasanya 10 tidak dituliskan sehingga menjadi log b = c. Jika nilai bilangan pokoknya merupakan bilangan e (bilangan eurel) dengan e = 2,718281828 maka logaritmanya ditulis dengan logaritma natural dan penulisannya dapat disingkat menjadi ln, misalnya elog b = c menjadi:

Berikut ini sejumlah contoh logaritma:

Perpangkatan Contoh Logaritma
 21 = 2 2log 2 = 1
 20 = 1 2log 1 = 0
 23 = 8 2log 8 = 3
2-3 = 8 2log  = – 3
 9^{\frac{3}{4}} = 3 \sqrt{3} 9log 3 \sqrt{3} = \frac{3}{4}
 103 = 1000 log 1000 = 3

Sifat-sifat Logaritma

1. Sifat Logaritma dari perkalian

Suatu logaritma merupakan hasil penjumlahan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-nya merupakan faktor dari nilai numerus awal. Berikut modelnya:

alog p.q = alog p + alog q

dengan syarat a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.

2. Perkalian Logaritma

Suatu logaritma a dapat dikalikan dengan logaritma b jika nilai numerus logaritma a sama dengan nilai bilangan pokok logaritma b. Hasil perkalian tersebut merupakan logaritma baru dengan nilai bilangan pokok sama dengan logaritma a, dan nilai numerus sama dengan logaritma b. Berikut model sifat logaritma nya:

alog b x blog c = alog c

dengan syarat a > 0, a \ne 1.

3. Sifat Logaritma dari pembagian

Suatu logaritma merupakan hasil pengurangan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-nya merupakan pecahan atau pembagian dari nilai numerus logaritma awal. Berikut modelnya:

alog \frac{p}{q} = alog p – alog q

dengan syarat a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.

4. Sifat Logaritma berbanding terbalik

Suatu logaritma berbanding terbalik dengan logaritma lain yang memiliki nilai bilangan pokok dan numerus-nya saling bertukaran. Berikut modelnya:

alog b = \frac{1}{^b log a}

dengan syarat a > 0, a \ne 1.

5. Logaritma berlawanan tanda

Suatu logaritma berlawanan tanda dengan logaritma yang memiliki numerus-nya merupakan pecahan terbalik dari nilai numerus logaritma awal. Berikut modelnya:

alog \frac{p}{q} = – alog \frac{q}{p}

dengan syarat a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.

6. Sifat Logaritma dari perpangkatan

Suatu logaritma dengan nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pengali. Berikut modelnya :

alog bp = p. alog b

dengan syarat a > 0, a \ne 1, b > 0

7. Perpangkatan Bilangan Pokok Logaritma

Suatu logaritma dengan nilai bilangan pokoknya merupakan suatu eksponen (pangkat) dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pembagi. Berikut modelnya:

^{a^p} log b = \frac{1}{p} ^a log b

dengan syarat a > 0, a \ne 1.

8. Bilangan pokok logaritma sebanding dengan perpangkatan numerus

Suatu logaritma dengan nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dari nilai bilangan pokoknya memiliki hasil yang sama dengan nilai pangkat numerus tersebut. Berikut model sifat logaritma nya:

alog ap = p

dengan syarat a > 0 dan a \ne 1.

9. Perpangkatan logaritma

Suatu bilangan yang memiliki pangkat berbentuk logaritma, hasil pangkatnya adalah nilai numerus dari logaritma tersebut. Berikut modelnya:

a^{^a log m} = m

dengan syarat a > 0, a \ne 1, m > 0.

10. Mengubah basis logaritma

Suatu logaritma dapat dipecah menjadi perbandingan dua logaritma sebagai berikut:

^p log q = \frac{^a log p}{^a log q}

dengan syarat a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0

Contoh Soal Logaritma 1

Diketahui 3log 5 = x dan 3log 7 = y. maka, nilai dari 3log 245 1/2 adalah … ?            (EBTANAS ’98)

Pembahasan 1

3log 245 ½ = 3log (5 x 49) ½

3log 245 ½ = 3log ((5) ½ x (49) ½)

3log 245 ½ = 3log (5) ½ + 3log (72½

3log 245 ½ = \frac{1}{2} ( 3log 5 + 3log 7)

3log 245 ½ = \frac{1}{2} (x + y)

Jadi, nilai dari 3log 245 1/2 adalah \frac{1}{2} (x + y).

Contoh Soal Logaritma 2

Jika b = a4, nilai a dan b positif, maka nilai alog b – blog a adalah …?              (UMPTN ’97)

Pembahasan 2

Diketahui bahwa b = a4, maka dapat disubstitusi kedalam perhitungan:

alog b – blog a = alog a4  – ^{a^4} log a

alog b – blog a = 4 (alog a) – \frac{1}{4}alog a)

alog b – blog a = 4 – \frac{1}{4}

alog b – blog a = 3 \frac{3}{4}

Jadi, nilai dari alog b – blog a pada soal tersebut adalah 3 \frac{3}{4}.

Contoh Soal Logaritma 3

Jika alog (1- 3log \frac{1}{27}) = 2, maka tentukanlah nilai a.   (UMPTN ’97)

Pembahsan 3

Jika kita buat nilai 2 menjadi sebuah logaritma dengan bilangan pokok logaritmanya adalah a menjadi alog a2= 2, maka didapat :

alog (1- 3log \frac{1}{27}) = 2

alog (1- 3log \frac{1}{27}) = alog a2

Nilai numerus kedua logaritma tersebut bisa menjadi sebuah persamaan:

1- 3log \frac{1}{27} = a2

3log 3 – 3log \frac{1}{27} = a2

3log 3 – 3log 3(-3) = a2

3log \frac{3}{3^{(-3)}} = a2

3log 34 = a2

4 = a2

Posted in KELAS X MIPA, Logaritma | Leave a comment

Pertidaksamaan Eksponen

Dalam bentuk pertidaksamaan, sifat-sifat pertidaksamaan eksponen dapat diketahui sebagai berikut:

Untuk a>1a>1

  • Jika a^{f(x)}>a^{g(x)}, maka f(x)>g(x)

Contoh:

2^{3x}>2^6

Maka:

3x > 6

  • Jika a^{f(x)}<a^{g(x)}, maka f(x)<g(x)

Contoh:

2^{3x}<2^6

Maka:

 3x<6

  • Jika a^{f(x)}\ge a^{g(x)}, maka f(x) \ge g(x)

Contoh:

2^3 \ge 2^6

Maka:

3x \ge 6

  • Jika a^{f(x)}\le a^{g(x)}, maka f(x)\le g(x)

Contoh:

2^{3x} \le 2^6

Maka:

3x \le 6

Untuk 0<a<10<a<1

Jika a^{f(x)} > a^{g(x)}, maka f(x)<g(x)

Contoh:

\frac{1}{2}^{3x} > \frac{1}{2}^6

Maka:

3x < 6

  • Jika a^{f(x)} < a^{g(x)}, maka f(x) > g(x)

Contoh:

\frac{1}{2}^{3x} < \frac{1}{2}^6

Maka:

3x > 6

  • Jika a^{f(x)} \ge a^{g(x)}, maka f(x)\le g(x)

Contoh:

\frac{1}{2}^{3x} \ge \frac{1}{2}^{6}

Maka:

3x\le 6

  • Jika a^{f(x)} \le a^{g(x)}, maka f(x) \ge g(x)

Contoh:

\frac{1}{2}^{3x} \le \frac{1}{2}^6

Maka:

3x \ge 6

Contoh Soal Persamaan Eksponen, Pertidaksamaan Eksponen, dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Akar-akar persamaan 5^{2x+3} - 6(5^{x+1}) + 1 = 0 adalah x_1 dan x_2.

Jika x_1 < x_2, maka tentukan nilai 2x_1 + x_2 (UN 2008)

Pembahasan

5^{2x+3} - 6(5^{x+1}) + 1 = 0

5^{2(x+1)+1} - 6(5^{x+1}) + 1 = 0

5((5^{x+1})^2) - 6(5^{x+1}) + 1 = 0

Misalkan 5^{x+1} = y, maka

5(y2)6(y)+1=05(y2)−6(y)+1=0

y_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

y_{1,2} = \frac{-(-6)\pm \sqrt{(-6)^2 - 4(5)(1)}}{2(5)}

y_{1,2} = \frac{6 \pm 4}{10}

sehingga y_1 = \frac{1}{5} dan y2 = 1.

Disubstitusi dalam 5^{x+1} = y menjadi

5^{x+1} = \frac{1}{5} = 5^{-1}

x+1 = -1 \longrightarrow x_1 = -2

5^{x+1} = 1 = 5^0

x+1 = 0 \longrightarrow x_2 = -1

Sehingga,

2x_1 + x_2 = 2 (-2)+(-1) = -5

Contoh Soal 2

Jika x>0 dan x\ne 1 memenuhi \frac{x}{\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x}}} = x^p, serta p bilangan rasional, maka p adalah

(SPMB 2002)

Pembahasan

Dilakukan penyederhanaan di dalam akar:

\frac{x}{\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x}}} = \frac{x}{\sqrt[3]{x(x)^{\frac{1}{3}}}} = x^p

= \frac{x}{\sqrt[3]{(x)^{1+\frac{1}{3}}}} = \frac{x}{\sqrt[3]{(x)^{\frac{4}{3}}}}

Akar dirubah menjadi pangkat:

= \frac{x}{((x)^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{3}}} = \frac{x}{((x)^{\frac{4}{9}})}

Bentuk pecahan disederhanakan menjadi:

x(x)^{-\frac{4}{9}} = x^p

(x)^{1-\frac{4}{9}} = x^p

Maka

p = 1- \frac{4}{9} = \frac{5}{9}

Contoh Soal 3

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan eksponen 3^{-x^2+3x} \le 1 adalah:

Pembahasan

3^{-x^2 + 3x} \le 1

3^{-x^2 + 3x} \le 3^0

Sehingga,

-x^2 + 3x \le 0

x(-x + 3) \le 0

Diperoleh,

x_1 = 0 dan x_2 = 3

Untuk mendapat penyelesaiannya, ambil sembarang nilai x diantara rentang 0<x<3kemudian disubstitusikan kedalam bentuk -x^2 + 3x \le 0. Misal ambil x = 1.

-(1)^2 + 3(1) \le 0

- 1 + 3 \le 0

2 \le 0 (tidak sesuai)

Karena tidak sesuai, maka area penyelesaian ada di luar rentang 0<x<3, sehingga didapat penyelesaiannya adalah

x\le 0 dan x\le 3

dicopy dari: https://www.studiobelajar.com/persamaan-pertidaksamaan-eksponen/

Posted in Eksponen, KELAS X MIPA | Leave a comment

Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen adalah persamaan dari bilangan elsponen dengan pangkat yang memuat sebuah fungsi, atau persamaan perpangkatan yang bilangan pangkatnya mengandung variabel sebagai bilangan peubah.
Bentuk-bentuk persamaan eksponen (PE) sebagai berikut:

Persamaan eksponen bentuk a^{f(x)} = a^p
Jika a>0 dan a\ne 1, maka f(x) = p.
Contoh:
2^{3x} = 2^6
Maka:
3x = 6
x=2

Persamaan eksponen bentuk 
a^{f(x)} = a^{g(x)}
Jika a>0 dan a≠ 1, maka f(x) = g(x)
Contoh:
2^{3x+1} = 2^{2x+3}
Maka:
3x+1 = 2x+3
x = 2

Persamaan eksponen bentuk a^{f(x)} = b^{f(x)}
Jika a>0a\ne 1b>0b \ne 1, dan a\ne b, maka f(x) = 0
Contoh:
2^{3x+1} = 5^{3x+1}
Maka:
3x + 1 = 0
x = -\frac{1}{3}

Persamaan eksponen bentuk 
a^{f(x)} = b^{g(x)}
Penyelesaian didapat dengan melogaritmakan kedua ruas
Contoh:
2^{3x+1} = 10^{3x}
Maka:
\log 2^{3x+1} = \log 10^{3x}
(3x+1)\log 2 = (3x)
3x \log 2 + \log 2 = 3x
\log 2 = 3x (1 - \log 2)
x = \frac{\log 2}{3(1 - \log 2)}

Persamaan eksponen bentuk (h(x))^{f(x)} = (h(x))^{g(x)}

Kemungkinan yang bisa terjadi adalah:

  • f(x) = g(x)
Contoh:
(3x+2)^{(3x+1)} = (3x+2)^{(2x+3)}
Mungkin:
(3x+1) = (2x+3)x =2
  • h(x) = 1
Contoh:
(3x+2)^{(3x+1)} = (3x+2)^{(2x+3)}
Mungkin:
(3x+2) = 1

x = -\frac{1}{3}

  • h(x) = 0 asalkan f(x) dan g(x)keduanya positif
Contoh:
(3x+2)^5 = (3x+2)^7
Mungkin:
(3x+2) = 0x = -\frac{2}{3}
  • h(x) = -1 asalkan f(x) dan g(x) keduanya sama genap atau sama ganjil
Contoh:
(3x+2)^5 = (3x+2)^7
Mungkin:
(3x+ 2) = -1
x=-1

Persamaan Eksponen Dalam Bentuk Aljabar

Jika terdapat sebuah persamaan eksponen dalam bentuk aljabar sebagai berikut:
A(a^{f(x)})^2 + B(a^{f(x)}) + C = 0
Dengan a^{f(x)} adalah persamaan eksponen, a\ne 1, dan konstanta A, B, C adalah bilangan real serta A\ne 0 dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke persamaan kuadrat.
Pengubahan dengan cara memisalkan y = a^{f(x)} sehingga akan diperoleh persamaan kuadrat baru:
A(y)2+B(y)+C=0A(y)2+B(y)+C=0
Akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut disubstitusikan ke dalam bentuk persamaan eksponen y = a^{f(x)}. Dengan cara penyelesaian biasa, nilai-nilai x bisa diperoleh.

Contoh:
Diketahui sebuah persamaan eksponen:
(2x+7)^2 - 4(2x+7)+3 = 0.

Maka penyelesaiannya adalah dengan memisalkan persamaan tersebut menjadi:
y^2 - 4y + 3 = 0
sehingga
(y - 3)(y - 1) = 0
y_1 = 3 dan y_2 = 1
diperoleh,
y_1 =2x+7
3 = 2x+7
x = -2
dan
y_2 = 2x+7
1 = 2x+7

x = -3

Posted in Eksponen, KELAS X MIPA | Leave a comment